Question

10．已知{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₁=2，a₄=14，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₄=30，且數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列通項公式，求得d=4，寫出等差數(shù)列{a_n}通項公式，{b_n-a_n}（n∈N⁺）是等比數(shù)列，得得q3=8，求得q，
（2））由（1）知${b_n}=4n-2+{2^n}$（n=1，2，3…），分組求和
數(shù)列{4n-2}的前n項和為2n²，數(shù)列{2ⁿ}的前n項和為$\frac{{2×（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$即可．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得$d=\frac{{{a_4}-{a_1}}}{3}=\frac{14-2}{3}=4$，…（1分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=4n-2．…（3分）
設(shè)等比數(shù)列（b_n-a_n}的公比為q，由題意得${q^3}=\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}=\frac{30-14}{4-2}=8$，
解得q=2．…（4分）
所以${b_n}-{a_n}=（{b_1}-{a_1}）{q^{n-1}}={2^n}$，所以${b_n}=4n-2+{2^n}$（n=1，2，3…）…（6分）
（2）由（1）知${b_n}=4n-2+{2^n}$（n=1，2，3…）．
數(shù)列{4n-2}的前n項和為2n²，…（7分）
數(shù)列{2ⁿ}的前n項和為$\frac{{2×（1-{2^n}）}}{1-2}={2^{n+1}}-2$．…（9分）
所以，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=2n²+2ⁿ⁺¹-2．…（10分）

點評 本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．