Question

18．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC=60°，PA=PC，PD⊥PB，AC∩BD=E，二面角P-AC-B的大小為60°．
（1）證明：AC⊥PB；
（2）求二面角E-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AC⊥PE，AC⊥BD，由此能證明AC⊥PB．
（2）推導出CE⊥PD，過E作EH⊥PD于H，連接CH，則PD⊥面CEH，∠CHE是二面角E-PD-C的平面角．由此能求出二面角E-PD-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵E是AC的中點，PA=PC，
∴AC⊥PE，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又PE∩BD=E，∴AC⊥面PDB，
又PB?面PDB，∴AC⊥PB．
解：（2）由（1）CE⊥面PDB，PD?面PDB，∴CE⊥PD，
過E作EH⊥PD于H，連接CH，則PD⊥面CEH，
又CH?面CEH，則PD⊥CH，
∴∠CHE是二面角E-PD-C的平面角．
由（1）知∠PEB是二面角P-AC-B的平面角，所以∠PEB=60°，
設AB=a，在Rt△PDB中，$PE=\frac{1}{2}BD=BE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，△PBE是等邊三角形，$PB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，EH是△PBD的中位線，
則$EH=\frac{1}{2}PB=\frac{{\sqrt{3}}}{4}a$，$CE=\frac{a}{2}$，CH=$\sqrt{C{E}^{2}+E{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}a$，
∴$cos∠CHE=\frac{EH}{CH}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
即二面角E-PD-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．