Question

16．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），定義一種向量運算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=（a₁b₁，a₂b₂），已知向量$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），點P（x′，y′）在y=sinx的圖象上運動．點Q（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的動點，且滿足$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n（其中O為坐標(biāo)原點），則函數(shù)y=f（x）的值域是（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]$
• B． $（{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$
• C． [-1，1]
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 推導(dǎo)出$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n=（2x′+$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}sin{x}^{'}$），從而得y=$\frac{1}{2}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$，由此能求出y=f（x）的值域．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（a₁，a₂），$\overrightarrow{b}$=（b₁，b₂），定義一種向量運算$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{b}$=（a₁b₁，a₂b₂），
向量$\overrightarrow{m}$=（2，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{π}{3}$，0），點P（x′，y′）在y=sinx的圖象上運動．
點Q（x，y）是函數(shù)y=f（x）圖象上的動點，且滿足$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n（其中O為坐標(biāo)原點），
∴$\overrightarrow{OQ}=m?\overrightarrow{OP}$+n=（2x′，$\frac{1}{2}sin{x}^{'}$）+（$\frac{π}{3}$，0）
=（2x′+$\frac{π}{3}$，$\frac{1}{2}sin{x}^{'}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2{x}^{'}+\frac{π}{3}}\\{y=\frac{1}{2}sin{x}^{'}}\end{array}\right.$，消去x′，得y=$\frac{1}{2}sin（\frac{1}{2}x-\frac{π}{6}）$，
∴y=f（x）的值域是[-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的值域的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運用．