Question

18．已知E（2，2）是拋物線C：y²=2px上一點，經過點D（2，0）的直線l與拋物線C交于A，B兩點（不同于點E），直線EA，EB分別交直線x=-2于點M，N
（1）求拋物線方程及其焦點坐標，準線方程；
（2）已知O為原點，求證：∠MON為定值．

Answer 1

分析 （1）將E代入拋物線方程，即可求得p的值，即可求得焦點坐標及準線方程；
（2）方法一：由直線l不經過點E，則直線l的斜率存在，設直線l方程為y=k（x-2），代入拋物線方程，求得M和N點坐標，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，則∠MON為定值$\frac{π}{2}$；
方法二：設直線l的方程：x=my+2，代入拋物線方程，求得M和N點坐標，利用韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，則∠MON為定值$\frac{π}{2}$．

解答 解：（1）將E（2，2）代入y²=2px，得p=1，
∴拋物線方程為y²=2x，焦點坐標為（$\frac{1}{2}$，0），準線方程x=-$\frac{1}{2}$；．…（3分）
（2）證明：設A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
因為直線l不經過點E，則直線l的斜率存在，
設直線l方程為y=k（x-2），
與拋物線方程聯立得到$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，消去x，整理得：ky²-2y-4k=0，
則由韋達定理得：y₁+y₂=$\frac{2}{k}$，y₁y₂=-4，…（6分）
直線AE的方程為：y-2=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2}-2}$（x-2），
即y=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$（x-2）+2，
令x=-2，得y_M=$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$，…（9分）
同理可得：y_N=$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，…（10分）
又∵$\overrightarrow{OM}$=（-2，y_M），$\overrightarrow{ON}$=（-2，y_N），
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=4+y_My_N=4+$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$×$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，
=4+$\frac{4[{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{[{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}$=4+$\frac{4（-4-\frac{4}{k}+4）}{-4+\frac{4}{k}+4}$=0…（13分）
∴OM⊥ON，即∠MON為定值$\frac{π}{2}$．…（14分）．
方法二：證明：設A（$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$，y₁），B（$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$，y₂），M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
設直線l方程為x=my+2，
于拋物線方程聯立得$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，整理得：y²-2my-4=0，
則由韋達定理得：y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4，…（6分）
直線AE的方程為：y-2=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{2}-2}$（x-2），
即y=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$（x-2）+2，
令x=-2，得y_M=$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$，…（9分）
同理可得：y_N=$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，…（10分）
又∵$\overrightarrow{OM}$=（-2，y_M），$\overrightarrow{ON}$=（-2，y_N），
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=4+y_My_N=4+$\frac{2{y}_{1}-4}{{y}_{1}+2}$×$\frac{2{y}_{2}-4}{{y}_{2}+2}$，
=4+$\frac{4[{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}{[{y}_{1}{y}_{2}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4]}$=4+$\frac{4（-4-2m+4）}{-4+2m+4}$=0…（13分）
∴OM⊥ON，即∠MON為定值$\frac{π}{2}$．…（14分）

點評 本題考查拋物線的簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．