Question

13．觀察如圖：
1，
2，3
4，5，6，7
8，9，10，11，12，13，14，15，
…
問：（1）此表第n行的最后一個數是多少？
（2）此表第n行的各個數之和是多少？
（3）2010是第幾行的第幾個數？
（4）是否存在n∈N*，使得第n行起的連續10行的所有數之和為2²⁷-2¹³-120？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）觀察已知排列的數，依次正整數的個數是，1，2，4，8，…，分析得出是規律，根據規律求出第n行的最后一個數．
（2）由（1）得到第n行的第一個數，且此行一共有2 ^n-1個數，從而利用等差數列的求和公式即可計算第n行的各個數之和；
（3）由（1）可知第n行的最后一個數是2ⁿ-1，即可推斷
（4）對于存在性問題，可先假設存在，即存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，再利用（II）的結論，構建等式，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答 解：（1）由已知得出每行的正整數的個數是1，2，4，8，…，其規律：
1=2^1-1，
2=2^2-1，
4=2^3-1，
8=2^4-1，
…，
由此得出第n行的第一個數為：2^n-1，共有2^n-1個，
所以此表第n行的最后一個數是2ⁿ-1
（2）由（1）得到第n行的第一個數，且此行一共有2 ^n-1個數，從而利用等差數列的求和公式得：
第n行的各個數之和S=$\frac{{2}^{n-1}（{2}^{n-1}+{2}^{n}-1）}{2}$=$\frac{3}{8}$•4ⁿ-$\frac{1}{4}$•2ⁿ=3×2^2n-3-2^n-2，
（3）由（1）可知第n行的最后一個數是2ⁿ-1，
當n=11時，最后一個數字為1023，
當n=12時，最后一個數字為2047，
所以2010在第第12行，2010-1023=987，
故2010是第12行的第987個數；
（III）第n行起的連續10行的所有數之和S=$\frac{3}{8}$•4ⁿ（1+4+…+4⁹）-$\frac{1}{4}$•2ⁿ=（1+2+…+2⁹）
=2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023），
又2²⁷-2¹³-120=2³（2²⁴-2¹⁰-15）
若存在n使得S′=2²⁷-2¹³-120，
則2^n-2（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2³（2²⁴-2¹⁰-15）…（*）
所以n-2≥3，所以n≥5．n=5時，（*）式成立，
n＞5時由（*）可得2^n-5（2ⁿ⁺¹⁹-2^n-1-1023）=2²⁴-2¹⁰-15，
此等式左邊偶數右邊奇數，不成立．
所以滿足條件的n=5．

點評 此題考查的知識點是等差數列與等比數列的綜合、圖形數字的變化類問題，同時考查學生分析歸納問題的能力，其關鍵是從每行的正整數個數1，2，4，8，…這列數找出規律解答．