Question

17．已知各項為正數的數列{a_n}的前{S_n}，滿足$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$
（Ⅰ）求證：{a_n}為等差數列，并求a_n；
（Ⅱ）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知數列遞推式可得$8{S_n}={a_n}^2+4{a_n}+4$，進一步得到$8{S}_{n-1}={{a}_{n-1}}^{2}+4{a}_{n-1}+4$（n≥2），兩式作差可得a_n-a_n-1-4=0，求出數列首項，代入等差數列通項公式得答案；
（Ⅱ）把{a_n}的通項公式代入${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，由裂項相消法求數列{b_n}的前n項和為T_n．

解答 （Ⅰ）證明：由$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$，得$8{S_n}={a_n}^2+4{a_n}+4$，
∴n≥2時，$8{S}_{n-1}={{a}_{n-1}}^{2}+4{a}_{n-1}+4$（n≥2），
兩式作差得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0，
又數列{a_n}各項為正數，∴a_n-a_n-1-4=0，
即數列{a_n}為等差數列．
又n=1時，$8{S_n}={a_n}^2+4{a_n}+4=8{a_1}$，∴a₁=2，
∴通項公式為a_n=4n-2；
（Ⅱ）∵${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（4n-2）（4n+2）}=\frac{1}{4（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{8}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴${T_n}=\frac{1}{8}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{8}（1-\frac{1}{2n+1}）$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．