Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為AD上一點，PE⊥平面ABCD．AD∥BC，AD⊥CD，BC=ED=2AE=2，EB=3，F為PC上一點，且CF=2FP．
（Ⅰ）求證：PA∥平面BEF；
（Ⅱ）求三棱錐P-ABF與三棱錐F-EBC的體積之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC交BE于點M，連接FM．由AD∥BC，BC=ED，得BCDE為平行四邊形，得EM∥CD，再由平行線截線段成比例可得FM∥AP．進一步由線面平行的判定得PA∥平面BEF；
（Ⅱ）利用等積法把三棱錐P-ABF與三棱錐F-EBC的體積之比轉化為三棱錐A-PBF與三棱錐E-FBC的體積之比，進一步轉化為線段PF與FC的長度比得答案．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC交BE于點M，連接FM．
由AD∥BC，BC=ED，得BCDE為平行四邊形，則EM∥CD，
∴$\frac{AM}{MC}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}=\frac{PF}{FC}$．
∴FM∥AP．
∵FM?平面BEF，PA?平面BEF，
∴PA∥平面BEF；
（Ⅱ）$\frac{{V}_{P-ABF}}{{V}_{F-EBC}}=\frac{{V}_{A-PBF}}{{V}_{E-BCF}}=\frac{{S}_{△PBF}}{{S}_{△FBC}}=\frac{PF}{FC}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查線面平行的判定，考查了利用等積法求多面體的體積，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．