Question

16．已知$f（{log_3}x）={x^2}-2x+4$，$x∈[\frac{1}{3}，3]$．
（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）求f（x）的值域；
（2）若方程f（x）=a²-3a+3有實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設t=log₃x，得到t∈[-1，1]，從而求出f（x）的解析式和函數的定義域即可；
（2）設u=3^x，得到$u∈[\frac{1}{3}，3]$，求出f（u），從而求出函數的值域即可；
（3）求出a²-3a+3∈[3，7]，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）設t=log₃x，t∈[-1，1]，則x=3^t-------（3分）
f（t）=（3^t）²-2•3^t+4，
∴f（x）=（3^x）²-2•3^x+4，
f（x）的定義域為[-1，1]---（6分）
（2）設u=3^x，$u∈[\frac{1}{3}，3]$，
f（u）=u²-2u+4=（u-1）²+3，
∴f（u）∈[3，7]
即所求值域為[3，7]----------（9分）
（3）由于方程f（x）=a²-3a+3有實數根，
∴a²-3a+3∈[3，7]，
∴a∈[-1，0]∪[3，4]-----------（12分）

點評 本題考查了對數函數以及指數函數的性質，考查函數的定義域、值域問題，是一道中檔題．