Question

6．已知函數f（x）=x²+mx+n有兩個零點-1與3．
（1）求出函數f（x）的解析式，并指出函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若g（x）=f（|x|）在x₁，x₂∈[t，t+1]是增函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數有兩個零點-1與3，由韋達定理可求解m，n的值，可得函數f（x）的解析式，利用二次函數的性質可得單調性．
（2）求出g（x）的解析式，畫出圖形，數形結合可求得t的取值范圍．

解答 解：（1）函數f（x）=x²+mx+n有兩個零點-1與3，由韋達定理，可得：m=-2，n=-3，
故得函數f（x）的解析式f（x）=x²-2x-3，
解析式化簡得f（x）=（x-1）²-4．
對稱軸x=1，
∴f（x）的增區為（1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|），由（1）得f（x）=x²-2x-3
∴g（x）=x²-2|x|-3
畫g（x）的圖象如下：
由圖象可知：[-1，0]和[1，+∞）是單調遞增區間；
∵函數g（x）要使[t，t+1]是增函數，
由圖觀察可得：t=-1或t≥1．
故得實數t的取值范圍是{t|t=-1或t≥1}．

點評 本題考查了二次函數的解析式的求法利用了韋達定理，以及二次函數圖象及單調性求解含參數的問題．屬于中檔題．