Question

11．已知二次函數(shù)f（x）的對稱軸x=-2，f（x）的圖象被x軸截得的弦長為2$\sqrt{3}$，且滿足f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k，對x∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=a（x+2）^2_+k（a≠0），由弦長為2$\sqrt{3}$，f（0）=1可得a和k，從而可求得f（x）的解析式；（2）f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k，對x∈[-1，1]恒成立⇒k+3＜（[（$\frac{1}{2}$）^x+2]²）_min

解答 解：（1）解：∵二次函數(shù)f（x）的對稱軸x=-2，∴f（x）=a（x+2）^2_+k（a≠0），
又f（0）=1，∴4a+k=1…①
又∵二次函數(shù)f（x）的對稱軸x=-2，且f（x）的圖象被x軸截得的弦長為2$\sqrt{3}$，∴f（x）過點(diǎn)（-2+$\sqrt{3}$，0），
∴3a+k=0…②，
由①②式得  a=1，k=-3
∴f（x）的解析式為：f（x）=（x+2）²-3，
（2）f（（$\frac{1}{2}$）^x）＞k，對x∈[-1，1]恒成立⇒[（$\frac{1}{2}$）^x_+2]2-3＞k，對x∈[-1，1]恒成立，
∴k+3＜（[（$\frac{1}{2}$）^x+2]²）_min．當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，$\frac{1}{2}≤（\frac{1}{2}）^{x}≤2$，∴（[（$\frac{1}{2}$）^x+2]²）_min⁼$\frac{25}{4}$，
k+3＜$\frac{25}{4}$⇒k＜$\frac{13}{4}$，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍：（-∞，$\frac{13}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．