Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-4，-6），|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{14}$，若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=7，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{c}$的夾角為（　　）

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 先求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$的坐標，設$\overrightarrow{c}$=（x，y，z），根據(jù)題中的條件求出x+2y+3z=-7，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-7，再利用兩個向量的夾角公式，設$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$ 的夾角等于θ，求出cosθ的值，由此求得θ的值．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（1，2，3），$\overrightarrow{b}$=（-2，-4，-6），|
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（-1，-2，-3）．
設$\overrightarrow{c}$=（x，y，z），
由（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=7，可得 （-1，-2，-3）•（x，y，z）=-x-2y-3y=7，
∴x+2y+3z=-7，即$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-7，
設$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$ 的夾角等于θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-7}{\sqrt{1+4+9}•\sqrt{14}}$=-$\frac{1}{2}$．
再由0°≤θ≤180°，可得θ=120°．
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量的夾角公式的應用，求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=-7是解題的關鍵，屬于中檔題．