Question

13．已知$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{ax+b}$是奇函數，且滿足f（1）=2．
（Ⅰ）求實數a，b，并確定函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數的奇偶性求出a，b的值，從而求出函數的解析式即可；（Ⅱ）根據函數單調性的定義證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）是奇函數，
故f（-x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-ax+b}$=-f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-ax-b}$，
故b=0，
又f（1）=2，故f（1）=$\frac{2}{a}$=2，解得：a=1，
故f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$；
（Ⅱ）設x₁＞x₂≥1，
則f（x₁）-f（x₂）
=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵x₁＞x₂≥1，
∴（x₁-x₂）＞0，1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在[1，+∞）上是增函數．

點評 本題考查了函數的奇偶性問題，考查函數單調性的證明，是一道基礎題．