Question

3．根據條件求雙曲線的標準方程．
（1）實軸長為8，離心率5，焦點在y軸上；
（2）焦距為26，兩頂點坐標為（0，-5），（0，5）；
（3）漸近線方程為y=±x，且過點M（2，3）；
（4）漸近線方程為y=$±\frac{3}{4}$x，且經過點（-2，3）．

Answer 1

分析 （1）（2）求出幾何量，即可求出雙曲線的標準方程；
（3）（4）設出方程，即可求出雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）實軸長為8，離心率5，則a=4，c=5，b=3，焦點在y軸上，雙曲線的標準方程$\frac{{y}^{2}}{16}-\frac{{x}^{2}}{9}$=1；
（2）焦距為26，兩頂點坐標為（0，-5），（0，5），則c=13，a=5，b=12，雙曲線的標準方程$\frac{{y}^{2}}{25}-\frac{{x}^{2}}{144}$=1；
（3）漸近線方程為y=±x，設方程為x²-y²=λ，過點M（2，3）代入可得λ=-5，雙曲線的標準方程$\frac{{y}^{2}}{5}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1；
（4）漸近線方程為y=$±\frac{3}{4}$x，設方程為9x²-16y²=λ，經過點（-2，3）代入可得λ=-108，雙曲線的標準方程$\frac{{y}^{2}}{\frac{27}{4}}-\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的性質，屬于中檔題．