Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x，x≤0\\{e^x}-1，x＞0\end{array}\right.$，若f（x）≥ax在R上恒成立，則a的取值范圍是[-4，1]．

Answer 1

分析 依題意，分x≤0、x=0與x＞0三類討論，分別求得a的取值范圍，最后取其交集即可得到答案．

解答 解：∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-4x，x≤0\\{e^x}-1，x＞0\end{array}\right.$，f（x）≥ax在R上恒成立，
∴當x≤0時，x²-4x≥ax恒成立，
x=0時，a∈R；①
x＜0時，a≥（x-4）_max，故a≥-4；②
當x＞0時，f（x）≥ax恒成立，即e^x-1≥ax恒成立，
令g（x）=e^x-1-ax（x＞0），則g（x）≥0（x＞0）恒成立，
又g（0）=0，
∴g（x）=e^x-1-ax（x＞0）為（0，+∞）上的增函數(shù)，
則g′（x）=e^x-a≥0（x＞0），
∴a≤（e^x）_min=e⁰=1；③
由①②③知，-4≤a≤1，
故答案為：[-4，1]．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查分類討論思想與等價轉(zhuǎn)化思想的綜合運用，由x＞0時，f（x）≥ax恒成立，分析出g（x）=e^x-1-ax（x＞0）為（0，+∞）上的增函數(shù)是關(guān)鍵，也是難點（分離參數(shù)a解決不了問題），屬于難題．