Question

10．已知各項為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$
（Ⅰ）求證：{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}=\frac{1}{{{a_n}+{a_1}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_n}+{a_n}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$，求證：${b_n}≤\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （1）利用數列遞推關系、等差數列的通項公式即可得出．
（2）通過放縮，利用數列的單調性即可證明．

解答 證明：（1）∵滿足$\sqrt{2{S_n}}=\frac{{{a_n}+2}}{2}$，
當n=1時，a₁=2．
當n≥2時，$8{S_n}={（{a_n}+2）^2}…（1）$$8{S_{n-1}}={（{a_{n-1}}+2）^2}…（2）$
由（1）-（2）得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-4）=0（a_n＞0）
則a_n-a_n-1=4，∴{a_n}是以4為公差的等差數列．a_n=4n-2．
（2）證明：
$\begin{array}{l}{b_n}=\frac{1}{{{a_n}+{a_1}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_2}}}+…+\frac{1}{{{a_n}+{a_n}}}+\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}\\=\frac{1}{4n}+\frac{1}{4n+4}+\frac{1}{4n+8}+…+\frac{1}{4n+4（n-1）}+\frac{1}{4n+4n}\\=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{n+（n-1）}+\frac{1}{n+n}）\\＜\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}+…+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}）\\=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}）\end{array}$
設$f（n）=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}$，則f（n+1）-f（n）＜0
所以，{f（n）}遞減，$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}）≤\frac{1}{4}f（1）=\frac{3}{8}$
即：${b_n}≤\frac{3}{8}$…12．

點評 本題考查了數列遞推關系、等差數列的通項公式、數列的單調性、“放縮”法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．