Question

4．若方程（$\frac{1}{4}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x-1+a=0有正數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （-3，0）
• C． （-2，0）
• D． （-1，0）

Answer 1

分析 為便于處理，不妨設(shè)t=（$\frac{1}{2}$）^x，于是可轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的方程t²+2t+a=0的根的問題，明顯地，原方程有正實(shí)數(shù)解，即可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程在（0，1）上有解的問題．于是問題迎刃而解．

解答 解：設(shè)t=（$\frac{1}{2}$）^x，則有：a=-[（$\frac{1}{2}$）^2x+2（$\frac{1}{2}$）^x]=-t²-2t=-（t+1）²+1．
原方程有正數(shù)解x＞0，則0＜t=（$\frac{1}{2}$）^x＜（$\frac{1}{2}$）⁰=1，
即關(guān)于t的方程t²+2t+a=0在（0，1）上有實(shí)根．
又因?yàn)閍=-（t+1）²+1．
所以當(dāng)0＜t＜1時(shí)有1＜t+1＜2，
即1＜（t+1）²＜4，
即-4＜-（t+1）²＜-1，
即-3＜-（t+1）²+1＜0，
即得：-3＜a＜0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)最值的求法，二次方程根的分布問題，以及對(duì)含參數(shù)的函數(shù)、方程的問題的考查，亦對(duì)轉(zhuǎn)化思想，換元法在解題中的應(yīng)用進(jìn)行了考查．