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16.設F1、F2分別為橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左、右兩個焦點.
(Ⅰ)若橢圓C上的點A($\sqrt{6}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$)到F1、F2兩點的距離之和等于6,寫出橢圓C的方程和焦點坐標;
(Ⅱ)設點K是(1)中所得橢圓上的動點,求線段F1K的中點M的軌跡方程.

分析 (Ⅰ)由題意可知:2a=6,a=3.將點A($\sqrt{6}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$)代入橢圓方程:$\frac{6}{9}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1$,解得:b2=8,則c2=a2-b2=1,即可求得橢圓C的方程和焦點坐標;
(Ⅱ)設橢圓C上的動點為K(x1,y1),線段F1K的中點Q(x,y)滿足x=$\frac{{x}_{1}-1}{2}$,y=$\frac{{y}_{1}}{2}$;求得x1=2x+1,y1=2y,代入橢圓方程,即可求得線段F1K的中點M的軌跡方程.

解答 解:(Ⅰ)橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的焦點在x軸上,由A($\sqrt{6}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$)到F1、F2兩點的距離之和等于6,
則2a=6,即a=3.
又點A($\sqrt{6}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$)在橢圓上,代入橢圓方程:$\frac{6}{9}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1$,解得:b2=8,
于是c2=a2-b2=1.…(4分)
∴橢圓C的方程:$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$,…(5分)
焦點F1(-1,0),F2(1,0);…(6分)
(Ⅱ)設橢圓C上的動點為K(x1,y1),線段F1K的中點Q(x,y)滿足x=$\frac{{x}_{1}-1}{2}$,y=$\frac{{y}_{1}}{2}$;
即x1=2x+1,y1=2y.…(8分)
代入橢圓方程:$\frac{(2x+1)^{2}}{9}+\frac{(2y)^{2}}{8}=1$,整理得:$\frac{(2x+1)^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$,
∴所求的軌跡方程$\frac{(2x+1)^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$.…(12分)

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質,考查軌跡方程的求法,考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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