Question

6．已知函數$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的部分圖象如圖所示．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）=lg[f（x）-1]的定義域．

Answer 1

分析 （1）由函數f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象得出A、ω與φ的值，即可寫出f（x）的解析式；
（2）根據對數函數的定義，得出f（x）-1＞0，再利用三角函數的圖象與性質求出x的取值范圍．

解答 解：（1）由函數f（x）=Asin（ωx+φ）的部分圖象知，
A=2，
$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∴T=π，∴ω=$\frac{2π}{π}$=2；
又f（$\frac{π}{6}$）=2sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）=2，
∴φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，k∈Z；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{6}$；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）∵函數g（x）=lg[f（x）-1]，
∴f（x）-1＞0，
∴f（x）＞1；
又f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）＞$\frac{1}{2}$，
∴$2kπ+\frac{π}{6}＜2x+\frac{π}{6}＜2kπ+\frac{5π}{6}$，
解得kπ＜x＜kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
∴g（x）的定義域為$\left\{{x|kπ＜x＜kπ+\frac{π}{3}，k∈Z}\right\}$．

點評 本題考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定解析式，以及對數函數的定義域問題，是基礎題目．