Question

5．有以下判斷：
①$f（x）=\frac{|x|}{x}$與g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$表示同一函數；
②“x=2”是“x²＞4”的必要而不充分條件；
③若f（x）=|x|-|x-1|，則$f[f（\frac{1}{2}）]$=0；
④若x²-2x=0，則x=2的逆命題是真命題
其中正確的序號為④．

Answer 1

分析 由函數定義域不同判斷①；求出不等式x²＞4的解集，結合充分必要條件的判定方法判斷②；直接求出函數值判斷③；寫出命題的逆命題判斷④．

解答 解：①$f（x）=\frac{|x|}{x}$的定義域為{x|x≠0}，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$的定義域為R，定義域不同，不是同一函數，故①錯誤；
②由x²＞4，得x＜-2或x＞2，∴“x=2”是“x²＞4”的既不充分也不必要條件，故②錯誤；
③若f（x）=|x|-|x-1|，則f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{1}{2}$|-|$\frac{1}{2}-1$|=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，∴$f[f（\frac{1}{2}）]$=f（0）=-1，故③錯誤；
④若x²-2x=0，則x=2的逆命題是若x=2，則x²-2x=0，是真命題，故④正確．
∴正確命題的序號是④．
故答案為：④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數值的求法，考查了充分必要條件的判定方法，是基礎題．