Question

2．過點M（m，0）（m＞0）作直線l，與拋物線y²=4x有兩交點A，B，F是拋物線的焦點，若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$，則m的取值范圍是（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 設AB方程為x=ay+m，代入拋物線方程，利用根與系數的關系得出A，B的坐標關系，根據$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0$恒成立得出關于m的不等式，從而解出m的范圍．

解答 解：設直線AB的方程為x=ay+m，
代入拋物線方程得y²-4ay-4m=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），又F（1，0），
∴$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂）
由根與系數的關系得：y₁y₂=-4m，y₁+y₂=4a，
∴x₁x₂=（ay₁+m）（ay₂+m）=a²y₁y₂+am（y₁+y₂）+m²=-4a²m+4a²m+m²=m²，
x₁+x₂=a（y₁+y₂）+2m=4a²+2m，
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=m²-6m-4a²+1＜0，
∴m²-6m+1＜4a²恒成立，
∴m²-6m+1＜0，
解得3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$．
故答案為（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了直線與拋物線的關系，函數恒成立問題研究，屬于中檔題．