Question

已知四邊形ABCD的頂點A（m，n），B（6，1），C（3，3），D（2，5），求m和n的值，使四邊形ABCD為直角梯形．

Answer 1

考點：平面向量的坐標運算

專題：平面向量及應用

分析：分別表示出：

AB

=（6-m，1-n），

DC

=（1，-2），

AD

=（2-m，5-n），

BC

=（-3，2）．再根據四邊形ABCD為直角梯形需要滿足的條件即可求出．

解答： 解：A（m，n），B（6，1），C（3，3），D（2，5），

AB

=（6-m，1-n），

DC

=（3-2，3-5）=（1，-2），

AD

=（2-m，5-n），

BC

=（3-6，3-1）=（-3，2）．
當

AB

∥

DC

時，即1-n=-12+2m，解得2m+n=13，
且

AD

•

DC

=0，即2-m-10+2n=0，解得2n-m=8，解得m=

18

5

，n=

29

5

，
滿足ABCD為直角梯形．
當

AD

∥

BC

時，即-3（5-n）=2（ 2-m），即3n+2m=19
且

AB

•

BC

=0，即-18+3m+2-2n=0，即3m-2n=16，解得m=

86

13

，n=

25

13

，滿足ABCD為直角梯形．
綜上可得，當m=

18

5

，n=

29

5

時，或m=

86

13

，n=

25

13

，使四邊形ABCD為直角梯形．

點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，體現了分類討論的數學思想，屬于基礎題．