Question

定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，f（x）=

-2x x+1 ，x∈[0，1) 1-|x-3|，x∈[1，+∞)

，則函數F（x）=f（x）-

1

π

的所有零點之和為（　�。�

• A、

  1

  2π-1

• B、

  1

  1-2π

• C、

  4π-1

  π

• D、

  1-4π

  π

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,分段函數的應用

專題：數形結合,函數的性質及應用

分析：得出x＜0時，f（x）=

-2x 1-x ，x∈(-1，0] |x+3|-1，x∈(-∞，-1]

畫出R上的圖象，構造f（x）與y=

1

π

交點問題，利用對稱性求解，注意確定交點坐標求解．

解答： 解：∵定義在R上的奇函數f（x），當x≥0時，f（x）=

-2x x+1 ，x∈[0，1) 1-|x-3|，x∈[1，+∞)

，
∴x＜0時，f（x）=

-2x 1-x ，x∈(-1，0] |x+3|-1，x∈(-∞，-1]

畫出圖象：
∵函數F（x）=f（x）-

1

π

，
∴f（x）與y=

1

π

交點的橫坐標，
根據圖象可設交點的橫坐標從左到右為x₁，₂，x₃，x₄，x₅，

根據圖象的對性可知；x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
∴x₁+x₂=x₃=x₄=x₅=x₃，
∵

-2x

1-x

=

1

π

，x_x=

1

1-2π

，
故函數F（x）=f（x）-

1

π

的所有零點之和為：

1

1-2π

．
故選：B

點評：本題考查了函數的奇偶性，圖象的對稱性，函數的零點與構造函數交點的問題，屬于中檔題，關鍵是確定函數解析式，畫圖象．