Question

已知數列{a_n}滿足a_n+1=

an

man+1

，且a₁=4．
（1）當m=1時，證明{

1

an

}是等差數列；
（2）當m=2n時，求數列{a_n}的通項公式；
（3）在（2）的條件下，記b_n=

anan+1

，數列{b_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜2．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）把m=1代入a_n+1=

an

man+1

，得an+1=

an

an+1

，取倒數可得數列{

1

an

}是公差為1的等差數列；
（2）解：把m=2n代入a_n+1=

an

man+1

，得

1

an+1

=

1

an

+2n，利用累加法求得{

1

an

}的通項公式，則數列{a_n}的通項公式可求；
（3）由b_n=

anan+1

=

42 (2n-1)2(2n+1)2

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），然后利用裂項相消法求和后放縮得答案．

解答： （1）證明：當m=1時，由a_n+1=

an

man+1

，得an+1=

an

an+1

，
即

1

an+1

=

1

an

+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，
數列{

1

an

}是公差為1的等差數列；
（2）解：當m=2n時，由a_n+1=

an

man+1

，得

1

an+1

=

1

an

+2n，
即

1

an+1

-

1

an

=2n，

1

an

-

1

an-1

=2(n-1)（n≥2），
則

1

an

=(

1

an

-

1

an-1

)+(

1

an-1

-

1

an-2

)+…+(

1

a2

-

1

a1

)+

1

a1

=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+

1

4

=2×

(n-1+1)(n-1)

2

+

1

4

=

(2n-1)2

4

，
∴an=

4

(2n-1)2

（n≥2），
驗證n=1時上式成立，
∴an=

4

(2n-1)2

；
（3）證明：b_n=

anan+1

=

42 (2n-1)2(2n+1)2

=

4

(2n-1)(2n+1)

=2（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
則T_n=2[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=2(1-

1

2n+1

)＜2．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了等差關系的確定，訓練了裂項相消法求數列的和，是中檔題．