Question

設函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，f（x）在x=x₁時取得極大值，在x=x₂時取得極小值，且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），則

b-2

a-1

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：求導數，利用導函數f′（x）=x²+ax+b的圖象開口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），得a，b的約束條件，據線性規劃求出最值．

解答： 解：∵函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值，
∴x₁，x₂是導函數f′（x）=x²+ax+2b的兩根
由于導函數f′（x）=x²+ax+2b的圖象開口朝上且x₁∈（0，1），x₂∈（1，2），
∴

b＞0 1+a+2b＜0 4+2a+2b＞0

滿足條件的約束條件的可行域如圖所示：
令Z=

b-2

a-1

，則其幾何意義是區域內的點與P（1，2）連線的斜率，
∴由

b=0 1+a+2b=0

，可得a=-1，b=0，B（-1，0），k_PB=

0-2

-1-1

=1
由

1+a+2b=0 4+2a+2b=0

，可得a=-3，b=1，可得A（-3，1），k_PA=

1-2

-3-1

=

1

4

．
∴

b-2

a-1

∈（

1

4

，1）．
故答案為：（

1

4

，1）．

點評：本題考查函數的導數，函數的極值以及不等式求解函數的最值，考查分析問題解決問題的能力．