Question

在數列{a_n}中，已知奇數項依次排列構成等差數列，偶數項依次排列構成等比數列，a₁=1，a₂=2，a₈=16，且a₈是a₁₅和a₁₇的等差中相項，求數列{a_n}的通項公式及前n項和．

Answer 1

考點：等差數列的前n項和,等差數列的通項公式

專題：分類討論,等差數列與等比數列

分析：①根據題意，求出n為奇數與n為偶數時，數列{a_n}的通項公式即可；
②根據n為奇數與n為偶數時，a_n的通項公式，求出數列{a_n}的前n項和S_n即可．

解答： 解：①數列{a_n}中，奇數項依次排列構成等差數列，偶數項依次排列構成等比數列，
a₁=1，a₂=2，a₈=16，且a₈是a₁₅和a₁₇的等差中相項，
∴a₁₅+a₁₇=2a₈=32；
又∵a₁₅+a₁₇=（a₁+7d）+（a₁+8d）=2×1+15d=32，
∴d=2，
∴當n=2k-1時，a_n=1+2（k-1）=2k-1=n；
又a₂•q³=a₈，
∴q³=

16

2

=8，
∴q=2，
∴當n=2k時，a_n=a₂q^k-1=2•2^k-1=2^k=2

n

2

=(

2

)n；
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=

n，n為奇數 ( 2 )n，n為偶數

；
②n為奇數時，a_n=n，n為偶數時，a_n=(

2

)n；
∴數列{a_n}的前n項和為S_n，
S_n=1+2+3+4+5+8+…+a_n；
n=2k-1時，S_n=（1+3+5+…+2k-1）+（2+4+8+…+(

2

)2k-2）
=k²+（2^k-2）
=(

n+1

2

)2+2

n+1

2

-2
=

1

4

n²+

1

2

n+(

2

)n+1-

7

4

；
n=2k時，S_n=（1+3+5+…+2k-1）+（2+4+8+…+(

2

)2k）
=k²+（2^k+1-2）
=(

n+1

2

)2+2

n

2

+1-2
=

1

4

n²+

1

2

n+2•(

2

)n-

7

4

；
綜上，S_n=

1 4 n2+ 1 2 n+( 2 )n+1- 7 4 ，n為奇數 1 4 n2+ 1 2 n+2•( 2 )n- 7 4 ，n為偶數

．

點評：本題考查了等差與等比數列的通項公式、前n項和公式的應用問題，也考查了分類討論思想的應用問題，是綜合性題目．