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設f(x)=
(x+a)lnx
x+1
,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直,求a的值.
考點:利用導數研究曲線上某點切線方程
專題:計算題,導數的概念及應用,直線與圓
分析:求出函數的導數,利用導數的幾何意義結合直線垂直的等價條件,計算即可得到結論.
解答: 解:曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線2x+y+1=0垂直,
∴切線斜率k=
1
2
,即k=f′(1)=
1
2

∵f(x)=
(x+a)lnx
x+1
,
∴f′(x)=
(lnx+1+
a
x
)(x+1)-(x+a)lnx
(x+1)2

即k=f′(1)=
2(1+a)
4
=
1
2
,
解得a=0.
點評:本題主要考查導數的幾何意義的應用以及直線垂直的關系,正確求導和根據導數求出函數的切線斜率是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

利用誘導公式求下列三角形數值:
(1)sin(-810°);
(2)cos
11π
2
;
(3)sin120°;
(4)cos(-
3
);
(5)tan150°;
(6)sin
25π
6

(7)cos300°;
(8)sin(-
13π
4

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科目:高中數學 來源: 題型:

對任意的x∈R,ex≥ax+x+1恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2,g(x)=
1
2
λf′(x)+sinx,其中函數g(x)在[-1,1]上是減函數,若g(x)≤λ+3sin1在x∈[-1,1]上恒成立,求λ的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)=-2asinx+2a+b,x∈[-
3
,
π
3
],是否存在常數a,b∈Q,使得函數f(x)的值域為{y|-3≤y≤
3
-1},若存在,求出a,b的值,若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數y=f(x)的最小正周期為2,且f(-x)=f(x).當x∈[0,1]時f(x)=-x+1,那么在區間[-3,4]上,函數G(x)=f(x)-(
1
2
|x|的零點個數有
 
個.

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在R上的奇函數f(x),當x≥0時,f(x)=
-2x
x+1
,x∈[0,1)
1-|x-3|,x∈[1,+∞)
,則函數F(x)=f(x)-
1
π
的所有零點之和為(  )
A、
1
2π-1
B、
1
1-2π
C、
4π-1
π
D、
1-4π
π

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科目:高中數學 來源: 題型:

我國1993年至2002年的國內生產總值(GDP)的數據如下:
年份GDP/億元
199334634.4
199446759.4
199558478.1
199667884.6
199774462.6
199878345.2
199982067.5
200089468.1
200197314.8
2002104790.6
(1)作GDP和年份的散點圖,根據該圖猜想它們之間的關系是什么.
(2)建立年份為解釋變量,GDP為預報變量的回歸模型,并計算殘差.
(3)根據你得到的模型,預報2003年的GDP,看看你的預報與實際GDP(117251.9億元).
(4)你認為這個模型能較好的刻畫GDP和年份關系嗎?請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

求函數y=
sin3xsin2x+cos3xcos2x
cos22x
+sin2x的最小值.

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