Question

已知函數f（x）=x²，g（x）=

1

2

λf′（x）+sinx，其中函數g（x）在[-1，1]上是減函數，若g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,函數單調性的性質,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：求出函數f（x）的導數，代入g（x）化簡，利用g（x）在[-1，1]上是減函數，得其導函數小于等于0，求得λ≤-1，再由g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，轉化為g（x）的最大值小于等于λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，得到λ≥-2sin1，從而求得λ的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x²，
∴f′（x）=2x，代入g（x）=

1

2

λf′（x）+sinx，
得g（x）=λx+sinx，∴g'（x）=λ+cosx，
∵g（x）在[-1，1]上單調遞減，∴g′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，
即λ≤-cosx在[-1，1]上恒成立，得λ≤-1．
又g（x）在[-1，1]上單調遞減，∴g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
又g（x）≤λ+3sin1在x∈[-1，1]上恒成立，故只需-λ-sin1≤λ+3sin1恒成立，
得λ≥-2sin1，
由sin

π

6

=

1

2

＜sin1，得1＜2sin1，∴-2sin1＜-1，
故-2sin1≤λ≤-1．
∴λ的取值范圍是[-2sin1，-1]．

點評：本題主要考查導數在解決恒成立問題的應用，注意轉化思想的應用，屬中高檔題．