Question

已知函數f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx，其中ω＞0，x∈R，若函數f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，若f（B）=-2，BC=

3

，sinB=

3

sinA，求

BA

•

BC

的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）利用三角函數中的恒等變換應用化簡函數解析式可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），利用函數f（x）的最小正周期為π，ω＞0，可得

2π

2ω

=π，解得ω即可．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．由f（B）=-2，可得sin（2B+

π

6

）=-1，結合B∈（0，π）可求B=

2π

3

．利用BC=

3

，sinB=

3

sinA，可得a=

3

，b=

3

a．由正弦定理可得：

3

sinA

=

3

sin 2π 3

，解得sinA，C，c．再利用數量積運算性質即可得解．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx
=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函數f（x）的最小正周期為π，ω＞0，
∴由周期公式可得：T=π=

2π

2ω

，可解得：ω=1．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
∵f（B）=-2，∴2sin（2B+

π

6

）=-2，∴sin（2B+

π

6

）=-1，B∈（0，π）．
∴B=

2π

3

．
∵BC=

3

，sinB=

3

sinA，
∴a=

3

，b=

3

a．∴b=3．由正弦定理可得：

3

sinA

=

3

sin 2π 3

，解得sinA=

1

2

，
∵A∈（0，

π

3

），∴A=

π

6

．∴C=

π

6

，c=

3

．
∴

BA

•

BC

=cacosB=

3

×

3

cos

2π

3

=-

3

2

．

點評：本題考查了數量積運算性質、倍角公式、兩角和差的余弦公式、三角函數的圖象與性質、正弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．