Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）證明：

1

2

＜

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜1（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推式與等比數列的通項公式即可得出；
（2）利用等比數列的前n項和公式及其數列的單調性即可得出．

解答： （1）解：∵S_n=2a_n-1（n∈N^*），
∴當n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}是等比數列，首項為1，公比為2．
∴an=2n-1．
（2）證明：∵an=2n-1，
∴

1

an

=

1

2n-1

．
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

．
∵數列{1-

1

2n

}單調遞增，
∴

3

4

≤1-

1

22

＜1．
∴

1

2

＜

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

＜1（n∈N^*）．

點評：本題考查了遞推式、等比數列的通項公式及其前n項和公式、數列的單調性，考查了推理能力與幾十年令，屬于中檔題．