Question

已知函數f（x）=e^x，g（x）=mx²+ax+b，其中m，a，b∈R，e=2.71828…為自然對數的底數．
（1）設函數h（x）=xf（x），當a=1，b=0時，若函數h（x）與g（x）具有相同的單調區間，求m的值；
（2）當m=0時，記F（x）=f（x）-g（x）
①當a=2時，若函數F（x）在[-1，2]上存在兩個不同的零點，求b的取值范圍；
②當b=-

15

2

時，試探究是否存在正整數a，使得函數F（x）的圖象恒在x軸的上方？若存在，求出a的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數零點的判定定理,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求解導數得出：h（x）=xe^x，（-∞，-1）上單調遞減，（-1，+∞）單調遞增，x=-1時h（x）去極小值．
（2）①當m=0時，記F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax-b，
F（x）在（-∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，F（x）的最小值為F（ln2）=2-2ln2-b，根據函數性質得出：2-2ln2-b＜0，F（-1）≥0，F（2）≥0，
②判斷得出：當a=1時，F（x）=e^x-x+

′15

2

，F（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，最小值為F（0）=1+

15

2

，＞0，F（x）＞0恒成立，

解答： 解：（1）∵函數f（x）=e^x，函數h（x）=xf（x），
∴h（x）=xe^x，
∴h′（x）=e^x+xe^x，
∵h′（x）=e^x+xe^x=0，x=-1，
h′（x）=e^x+xe^x＞0，x＞-1，
h′（x）=e^x+xe^x＜0，x＜-1，
∴h（x）=xe^x，（-∞，-1）上單調遞減，（-1，+∞）單調遞增，x=-1時h（x）去極小值，
∵當a=1，b=0時g（x）=mx²+ax+b=mx²+x，若函數h（x）與g（x）具有相同的單調區間
∴-12m=-1，m=12，
（2）當m=0時，記F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax-b，
①當a=2時，F（x）=e^x-2x-b，
∴F′（x）=e^x-2，
∵F′（x）=e^x-2=0，x=ln2，
F′（x）=e^x-2＞0，x＞ln2
F′（x）=e^x-2＜0，x＜ln2，
∴F（x）在（-∞，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，
F（x）的最小值為F（ln2）=2-2ln2-b，
∵函數F（x）在[-1，2]上存在兩個不同的零點，
∴2-2ln2-b＜0，F（-1）≥0，F（2）≥0，
解得出：b＞2-2ln2，b≤

1

e

+2，b≤e²-4，
即2-2ln2＜b≤

1

e

+2，
②∵當b=-

15

2

時，F（x）=f（x）-g（x）=e^x-ax+

′15

2

，
∴F′（x）=e^x-a，
當a=1時，F（x）=e^x-x+

′15

2

，
F′（x）=e^x-1，
∵F′（x）=e^x-1＞0，x＞0，
F′（x）=e^x-1=0，x=0，
F′（x）=e^x-1＜0，x＜0，
∴F（x）在（0，+∞）單調遞增，在（-∞，0）上單調遞減，
最小值為F（0）=1+

15

2

＞0，∴F（x）＞0恒成立，
當a=1時，使得函數F（x）的圖象恒在x軸的上方．

點評：本題考查了函數思想的運用，導數在求解單調性，最值中的應用，知識比較多，難度較大，屬于難題．