Question

拋物線y²=12x的焦點為F，點P為拋物線上的動點，點M為其準線上的動點，當△FPM為等邊三角形時，則△FPM的外接圓的方程為

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用拋物線的定義得出PM垂直于拋物線的準線，設M（-3，m），則P（9，m），求出△PMF的邊長，寫出有關點的坐標，得到外心Q的坐標，△FPM的外接圓的半徑，從而求出其方程．

解答： 解：據題意知，△PMF為等邊三角形，PF=PM，
∴PM⊥拋物線的準線，F（3，0）
設M（-3，m），則P（9，m），等邊三角形邊長為12，如圖．
在直角三角形APF中，PF=12，解得外心Q的坐標為（3，±4

3

）． 則△FPM的外接圓的半徑為4

3

，
∴則△FPM的外接圓的方程為(x-3)2+(y±4

3

)2=48．
故答案為：(x-3)2+(y±4

3

)2=48．

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質，直線與拋物線的綜合問題．考查了學生綜合把握所學知識和基本的運算能力