Question

定義在（-

π

2

，

π

2

）的函數f（x）=e^ax•tanx（a＞0）在x=

π

4

處切線斜率為6e^π．
（1）求a及f（x）單調區間；
（2）當x∈[0，

π

2

）時，f（x）≥mx恒成立，求m的范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,函數的性質及應用,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，求得切線的斜率，解方程可得a=4，再令導數大于0，得增區間．令導數小于0，得減區間，注意定義域；
（2）當x∈[0，

π

2

）時，f（x）≥mx恒成立，即為e^4x•tanx-mx≥0對x∈[0，

π

2

）恒成立．令g（x）=e^4x•tanx-mx，求出導數，由定義域判斷tanx≥0，e^4x≥1，再對m討論，運用單調性即可得到范圍．

解答： 解：（1）函數f（x）=e^ax•tanx的導數為f′（x）=ae^ax•tanx+e^ax•sec²x，
由f（x）在x=

π

4

處切線斜率為6e^π．即有ae

π

4

a+2e

π

4

a=6e^π．
解得a=4，
即有f（x）=e^4x•tanx的導數為f′（x）=4e^4x•tanx+e^4x•sec²x
=e^4x•（4tanx+sec²x）=e^4x•（4tanx+1+tan²x），
由f′（x）=0可得tanx=-2+

3

或-2-

3

，
而x∈（-

π

2

，

π

2

），tan（-

π

12

）=-2+

3

，tan（-

5π

12

）=-2-

3

，
則有x₁=-

5π

12

，x₂=-

π

12

，
令f′（x）＞0可得-

5π

12

＜x＜-

π

12

，
令f′（x）＜0可得-

π

2

＜x＜-

5π

12

或-

π

12

＜x＜

π

2

，
即有f（x）的增區間為（-

5π

12

，-

π

12

），減區間為（-

π

2

，-

5π

12

），（-

π

12

，

π

2

）；
（2）當x∈[0，

π

2

）時，f（x）≥mx恒成立，
即為e^4x•tanx-mx≥0對x∈[0，

π

2

）恒成立．
令g（x）=e^4x•tanx-mx，g′（x）=4e^4x•tanx+e^4x•sec²x-m
=e^4x•（4tanx+1+tan²x）-m，
當m≤0時，x∈[0，

π

2

）時，tanx≥0，e^4x≥1，
當且僅當x=0時，取得最小值．
即有g′（x）≥0，g（x）在[0，

π

2

）遞增，
則g（x）≥g（0）=0恒成立．
當m＞0時，g′（x）≥0不恒成立，即gg（x）在[0，

π

2

）不是遞增．
綜上可得，m的范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查導數的運用：求切線的斜率和求單調區間，主要考查導數的幾何意義和不等式的解法，以及函數的單調性的運用，屬于中檔題．