Question

已知函數f（x）=e^x（-x²+b）在點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．
（Ⅰ） 求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）當x∈（-1，+∞）時，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．由點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．可得f（0）=3，f′（0）=3．解得b，由f′（x）＜0，解出可得函數f（x）的單調遞減區間．
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化為e^x（2x+3）≥m（x+1），由x∈（-1，+∞）時，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立?m≤

ex(2x+3)

x+1

的最小值．令h（x）=

ex(2x+3)

x+1

．利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（-x²-2x+b）．
∵點P（0，f（0））處的切線方程為y=3x+3．
∴f（0）=3，f′（0）=3．
∴b=3，
∴f′（x）=e^x（-x²-2x+3）=-e^x（x+3）（x-1），
由f′（x）＜0，化為（x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函數f（x）的單調遞減區間為（-∞，-3），（1，+∞）；
（2）f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1），化為e^x（2x+3）≥m（x+1），
∵x∈（-1，+∞）時，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，
∴m≤

ex(2x+3)

x+1

．
令h（x）=

ex(2x+3)

x+1

．
則h′（x）=

ex(2x+5)(x+1)-ex(2x+3)

(x+1)2

=

ex(2x2+5x+2)

(x+1)2

=

ex(2x+1)(x+2)

(x+1)2

．
令h′（x）＞0，解得x＞-

1

2

，此時函數h（x）單調遞增；令h′（x）＜0，解得-1＜x＜-

1

2

，此時函數h（x）單調遞減．
∴當x=-

1

2

時，函數h（x）取得最小值，h(-

1

2

)=

4

e

=

4 e

e

．
∴m≤

4 e

e

．
∴實數m的取值范圍是(-∞，

4 e

e

]．

點評：本題考查了利用導數研究其單調性極值與最值、導數幾何意義，考查了恒成立問題的等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．