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如圖,已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)上有一點A,它關于原點的對稱點為B,點F為雙曲線的右焦點,且滿足AF⊥BF,設∠ABF=α,且α∈[
π
12
π
6
],則雙曲線離心率e的取值范圍為( 。
A、[
3
,2+
3
]
B、[
2
3
+1
]
C、[
2
2+
3
]
D、[
3
3
+1]
考點:雙曲線的簡單性質
專題:計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:利用S△ABF=2S△AOF,先求出e2=
1
1-sin2α
,再根據α∈[
π
12
,
π
6
],即可求出雙曲線離心率的取值范圍.
解答: 解:設左焦點為F',令|AF|=r1,|AF'|=r2,則|BF|=|F'A|=r2
∴r2-r1=2a,
∵點A關于原點O的對稱點為B,AF⊥BF,
∴|OA|=|OB|=|OF|=c,
∴r22+r12═4c2,
∴r1r2=2(c2-a2
∵S△ABF=2S△AOF,
1
2
r1r2═2•
1
2
c2sin2α,
∴r1r2═2c2sin2α
∴c2sin2α=c2-a2
∴e2=
1
1-sin2α

∵α∈[
π
12
,
π
6
],
∴sin2α∈[
1
2
,
3
2
],
∴e2=
1
1-sin2α
∈[2,(
3
+1)2]
∴e∈[
2
,
3
+1].
故選:B.
點評:本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意三角函數性質的靈活運用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=ex,g(x)=mx2+ax+b,其中m,a,b∈R,e=2.71828…為自然對數的底數.
(1)設函數h(x)=xf(x),當a=1,b=0時,若函數h(x)與g(x)具有相同的單調區間,求m的值;
(2)當m=0時,記F(x)=f(x)-g(x)
①當a=2時,若函數F(x)在[-1,2]上存在兩個不同的零點,求b的取值范圍;
②當b=-
15
2
時,試探究是否存在正整數a,使得函數F(x)的圖象恒在x軸的上方?若存在,求出a的最大值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

等差數列{an}的公差d≠0,a1=20,且a3,a7,a9成等比數列.Sn為{an}的前n項和,則S10的值為(  )
A、-110B、-90
C、90D、110

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科目:高中數學 來源: 題型:

若cos(α+3π)=
1
3
,且α∈(
π
2
,π),則
sin(
π
2
+α)
sin(π+α)+cos(
π
2
+α)
=.

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科目:高中數學 來源: 題型:

計算:
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
n(n+2)
=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知數列{an}的前n項和Sn,對任意n∈N+滿足Sn=2n+1-2,數列bn=log2an,求an,bn的通項公式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

若-2<c<-1<a<b<1,則(c-a)(a-b)的取值范圍為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

cos15°sin9°+sin6°
sin15°sin9°-cos6°
=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知Sn是等差數列{an}的前n項,數列{bn}是等比數列,b1=
1
2
,a5-1恰為S4
1
b2
的等比中項,圓C:(x-2n)2+(y-
Sn
2=2n2,直線l;x+y=n,對任意n∈N*,直線l都與圓C相切
(Ⅰ)求數列{an},{bn}
(Ⅱ)若任意n∈N*,cn=anbn,求{cn}的前n項和Tn的值.

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