Question

如圖，已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上有一點A，它關于原點的對稱點為B，點F為雙曲線的右焦點，且滿足AF⊥BF，設∠ABF=α，且α∈[

π

12

，

π

6

]，則雙曲線離心率e的取值范圍為（　�。�

• A、[

  3

  ，2+

  3

  ]
• B、[

  2

  ，

  3

  +1]
• C、[

  2

  ，2+

  3

  ]
• D、[

  3

  ，

  3

  +1]

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：利用S_△ABF=2S_△AOF，先求出e²=

1

1-sin2α

，再根據α∈[

π

12

，

π

6

]，即可求出雙曲線離心率的取值范圍．

解答： 解：設左焦點為F'，令|AF|=r₁，|AF'|=r₂，則|BF|=|F'A|=r₂，
∴r₂-r₁=2a，
∵點A關于原點O的對稱點為B，AF⊥BF，
∴|OA|=|OB|=|OF|=c，
∴r₂²+r₁²═4c²，
∴r₁r₂=2（c²-a²）
∵S_△ABF=2S_△AOF，
∴

1

2

r₁r₂═2•

1

2

c²sin2α，
∴r₁r₂═2c²sin2α
∴c²sin2α=c²-a²
∴e²=

1

1-sin2α

，
∵α∈[

π

12

，

π

6

]，
∴sin2α∈[

1

2

，

3

2

]，
∴e²=

1

1-sin2α

∈[2，（

3

+1）²]
∴e∈[

2

，

3

+1]．
故選：B．

點評：本題考查雙曲線的離心率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數性質的靈活運用．