Question

在△ABC中，AB=3，AC=

3

，∠A=30°，過A作AD⊥BC，垂足為D，若

AD

=m

AB

+n

AC

，則m-n=

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：如圖所示，建立直角坐標系．由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos30°，解得BC=

3

．∠B=30°．可得：A（0，3），D（0，0），C(-

3

2

，0)，B(-

3 3

2

，0)，由

AD

=m

AB

+n

AC

，可得（0，-3）=m(-

3 3

2

，-3)+n(-

3

2

，-3)．即可得出．

解答： 解：如圖所示，建立直角坐標系．
由余弦定理可得：BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos30°=9+3-6

3

×

3

2

=3，
∴BC=

3

．∴∠B=30°．
A（0，3），D（0，0），C(-

3

2

，0)，B(-

3 3

2

，0)，
∴

AD

=（0，-3），

AB

=(-

3 3

2

，-3)，

AC

=(-

3

2

，-3)．
∵

AD

=m

AB

+n

AC

，
∴（0，-3）=m(-

3 3

2

，-3)+n(-

3

2

，-3)．
∴-

3 3

2

m-

3

2

n=0，-3m-3n=-3，
化為3m+n=0，m+n=1．
聯立解得m=-

1

2

，n=

3

2

．
∴m-n=-2．
故答案為：-2．

點評：本題考查了向量的坐標運算、共面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．