Question

當x∈（0，

π

2

）時，利用教材習題中的探究結論：“當x∈（0，

π

2

）時，0＜sinx＜x＜

π

2

”，比較cos（sinx），cosx和sin（cosx）的大小．

Answer 1

考點：三角函數線

專題：三角函數的圖像與性質

分析：利用當x∈（0，

π

2

）時，0＜sinx＜x＜

π

2

，以及在（0，

π

2

）上正弦函數、余弦函數的單調性，得到cos（sinx），cosx和sin（cosx）的大小關系．

解答： 解：∵當x∈（0，

π

2

）時，0＜sinx＜x＜

π

2

，y=cosx在（0，

π

2

）上單調遞減，∴cos（sinx）＞cosx．
又因為sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），x∈（0，

π

2

），∴

π

4

＜x+

π

4

＜

3π

4

，∴

2

2

＜sin（x+

π

4

）≤1，
∴1＜

2

sin（x+

π

4

）≤

2

＜

π

2

，∴0＜sinx+cosx＜

π

2

，即

π

2

＞

π

2

-sinx＞cosx＞0．
∵y=sinx在（0，

π

2

）上單調增，∴sinx（

π

2

-sinx）＞sin（cosx），即cos（sinx）＞sin（cosx）．
故cos（sinx）是所給的三個數中最大的一個．
對于cosx和sin（cosx），由于cosx∈（0，

π

2

），故有sin（cosx）＜cosx．
綜上可得，cos（sinx）＞cosx＞sin（cosx）．

點評：本題主要考查結論：當x∈（0，

π

2

）時，0＜sinx＜x＜

π

2

，以及在（0，

π

2

）上，正弦函數、余弦函數的單調性，屬于基礎題．