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設函數f(x)是定義在R上的奇函數,且對于任意的x∈R,f(1+x)-f(1-x)=0恒成立,當x∈[0,1]時,f(x)=2x,若方程f(x)=ax恰好有5個不同的解,則實數a的取值范圍是
 
考點:根的存在性及根的個數判斷
專題:函數的性質及應用
分析:根據題意先求出函數的周期,要使關于x的方程f(x)=ax有5個不同的解,即使y=f(x)與y=ax有5個交點都是奇函數其中有一個交點肯定是原點,只需考慮(0,+∞)有兩個交點即可,畫出圖象即可求出a的值.
解答: 解:因為f(1+x)-f(1-x)=0恒成立,可得函數f(x)的圖象關于直線x=1對稱;
再根據f(x)是奇函數,x∈[0,1]時,f(x)=2x,可得x∈[-1,1]時,f(x)=2x,
所以f(x)是周期為4的周期函數(且該函數最大值與最小值分別為2和-2).
要使關于x的方程f(x)=ax有5個不同的解,即使y=f(x)與y=ax有5個交點即可.
由于這兩個函數都是奇函數,其中有一個交點肯定是原點,只需考慮(0,+∞)有兩個交點即可
畫出函數圖象如下:
當a=
2
5
,即 f(x)=ax過點(5,2))時,恰好5個交點,
當a<0時,a的范圍在(k1,k2)之間,k1=-
2
3
,k2=-
2
7
,即-
2
3
<a<-
2
7

故答案為:(-
2
3
,-
2
7
)∪{
2
5
}.
點評:本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷,同時考查了數形結合和轉化能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

在復平面內,復數
1+i
(1-i)2
對應的點位于(  )
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為A,B,|AB|=
5
,離心率
3
2

(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點A作斜率為k(k>0)的直線l與橢圓交于另外一點C,求△ABC面積的最大值,并求此時直線l的方程.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)是定義在[-2,2]上的奇函數,且f(2)=3.若對任意的m,n∈[-2,2],m+n≠0,都有
f(m)+f(n)
m+n
>0.
(1)判斷函數f(x)的單調性,并說明理由;
(2)若f(2a-1)<f(a2-2a+2),求實數a的取值范圍;
(3)若不等式f(x)≤(5-2a)t+1對任意x∈[-2,2]和a∈[-1,2]都恒成立,求實數t的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

當x∈(0,
π
2
)時,利用教材習題中的探究結論:“當x∈(0,
π
2
)時,0<sinx<x<
π
2
”,比較cos(sinx),cosx和sin(cosx)的大小.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如果正四棱錐的對角線和側面所形成的角為30°,底面邊長為a,則它的體積是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知平面內有一條線段AB,|AB|=4,動點P滿足|PA|-|PB|=3,O為AB的中點,則|OP|的最小值為
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知(x-
2
2
n=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…an-1x+an,若a2=14,則an-3=
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數g(x)=
2
x
+lnx,f(x)=mx-
m-2
x
-lnx,m∈R.
(1)求函數g(x)的極值;
(2)若f(x)-g(x)在[1,+∞)上為單調函數,求m的取值范圍.

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