Question

設函數f（x）是定義在R上的奇函數，且對于任意的x∈R，f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，當x∈[0，1]時，f（x）=2x，若方程f（x）=ax恰好有5個不同的解，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：根據題意先求出函數的周期，要使關于x的方程f（x）=ax有5個不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個交點都是奇函數其中有一個交點肯定是原點，只需考慮（0，+∞）有兩個交點即可，畫出圖象即可求出a的值．

解答： 解：因為f（1+x）-f（1-x）=0恒成立，可得函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱；
再根據f（x）是奇函數，x∈[0，1]時，f（x）=2x，可得x∈[-1，1]時，f（x）=2x，
所以f（x）是周期為4的周期函數（且該函數最大值與最小值分別為2和-2）．
要使關于x的方程f（x）=ax有5個不同的解，即使y=f（x）與y=ax有5個交點即可．
由于這兩個函數都是奇函數，其中有一個交點肯定是原點，只需考慮（0，+∞）有兩個交點即可
畫出函數圖象如下：
當a=

2

5

，即 f（x）=ax過點（5，2））時，恰好5個交點，
當a＜0時，a的范圍在（k₁，k₂）之間，k₁=-

2

3

，k₂=-

2

7

，即-

2

3

＜a＜-

2

7

，
故答案為：（-

2

3

，-

2

7

）∪{

2

5

}．

點評：本題主要考查了根的存在性及根的個數判斷，同時考查了數形結合和轉化能力，屬于中檔題．