Question

已知f（x）是定義在[-2，2]上的奇函數，且f（2）=3．若對任意的m，n∈[-2，2]，m+n≠0，都有

f(m)+f(n)

m+n

＞0．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并說明理由；
（2）若f（2a-1）＜f（a²-2a+2），求實數a的取值范圍；
（3）若不等式f（x）≤（5-2a）t+1對任意x∈[-2，2]和a∈[-1，2]都恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,函數單調性的性質

專題：計算題,壓軸題,函數的性質及應用

分析：（1）設任意x₁，x₂，滿足-2≤x₁＜x₂≤2，利用函數單調性的定義證明；
（2）由（1）知，f（2a-1）＜f（a²-2a+2）可化為-2≤2a-1）＜a²-2a+2≤2，從而解得．
（3）不等式f（x）≤（5-2a）t+1對任意x∈[-2，2]和a∈[-1，2]都恒成立，f_max（x）≤（5-2a）t+1對任意的a∈[-1，2]都恒成立，令g（a）=2ta-5t+2，a∈[-1，2]，從而求t．

解答： 解：（1）設任意x₁，x₂，滿足-2≤x₁＜x₂≤2，由題意可得
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

（x₁-x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在定義域[-2，2]上是增函數．
（2）由（1）知，f（2a-1）＜f（a²-2a+2）可化為
-2≤2a-1）＜a²-2a+2≤2，
解得0≤a＜1，
∴a的取值范圍為[0，1）．
（3）由（1）知，不等式f（x）≤（5-2a）t+1對任意x∈[-2，2]和a∈[-1，2]都恒成立，
f_max（x）≤（5-2a）t+1對任意的a∈[-1，2]都恒成立，
∴3≤（5-2a）t+1恒成立，
即2ta-5t+2≤0對任意的a∈[-1，2]都恒成立，
令g（a）=2ta-5t+2，a∈[-1，2]，
則只需

g(-1)=-5t+2≤0 g(2)=-t+2≤0

，
解得t≥2，
∴t的取值范圍是[2，+∞）．

點評：本題考查了函數的單調性的判斷與證明，同時考查了單調性的應用及恒成立問題，屬于難題．