Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，設E是棱CC₁的中點．
（1）求證：BD⊥AE；
（2）求證：AC∥平面B₁DE；
（3）求三棱錐A-B₁DE的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）通過證明BD⊥平面AEC，得出BD⊥AE；
（2）通過△ACC₁的中位線證明線線平行，再證明線面平行；
（3）點A到平面B₁DE的距離等于點C到平面B₁DE的距離，利用等積法求出三棱錐A-B₁DE的體積．

解答：
解：（1）證明：連接BD，AE，
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
又∵EC⊥底面ABCD，BD?面ABCD，
∴EC⊥BD，且EC∩AC=C，
∴BD⊥平面AEC，
又AE?平面AEC，∴BD⊥AE；-----------（4分）
（2）證明：連接AC₁，設AC₁∩B₁D=G，
則G為AC₁的中點，E為C₁C的中點，
∴GE為△ACC₁的中位線，
∴AC∥GE，GE?平面B₁DE，AC?平面B₁DE，
∴AC∥平面B₁DE；
（3）由（2）知，點A到平面B₁DE的距離等于點C到平面B₁DE的距離，
∴三棱錐A-B₁DE的體積是
V錐A-B1DE=V錐C-B1DE=

1

3

S△B1DE•DC=

1

3

×（

1

2

×1×2）×2=

2

3

，
∴三棱錐A-B₁DE的體積為

2

3

．

點評：本題考查了空間中的垂直與平行的判斷與性質的應用問題，也考查了求幾何體的體積的問題，是綜合性題目．