Question

已知不等式（2+x）（3-x）≥0的解集為A，函數f（x）=

kx2+4x+k+3

（k＜0）的定義域為B．
（1）求集合A；
（2）若B⊆A，試求實數k的取值范圍；
（3）若B=[x₁，x₂]且x₁＜x₂，又（x₁+1）（x₂+1）=-4，求x₂-x₁的值．

Answer 1

考點：函數的定義域及其求法

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據不等式的解法即可求集合A；
（2）根據B⊆A，建立條件關系即可求實數k的取值范圍；
（3）根據根與系數之間的關系即可求x₂-x₁的值

解答： 解：（1）由（2+x）（3-x）≥0得-2≤x≤3，即A=[-2，3]．
（2）要使函數有意義，則kx²+4x+k+3≥0，
若B⊆A，設g（x）=kx²+4x+k+3，（k＜0），
則滿足

△≥0 g(3)≤0 g(-2)≤0 -2≤- 2 k ≤3

，
即

16-4k(k+3)≥0 10k+15≤0 5k-5≤0 -2≤- 2 k ≤3

，
解得-4≤k≤-

3

2

．
（3）要使函數有意義，則kx²+4x+k+3≥0，
若B=[x₁，x₂]且x₁＜x₂＜0，
則x₁，x₂是方程kx²+4x+k+3=0的兩個根且x₁＜x₂＜0，
則x₁+x₂=-

4

k

，x₁x₂=

k+3

k

，
∵（x₁+1）（x₂+1）=4，
∴x₁x₂+x₁+x₂=3，
即

k+3

k

-

4

k

=

k-1

k

=3，
則k=-

1

2

．
則x₁+x₂=-

4

k

=8，x₁x₂=

k+3

k

=-5，
則（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=64-4×（-5）=84，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
則x₁-x₂=-

84

=-2

21

．

點評：本題主要考查集合的基本運算以及函數定義域的求解，綜合考查函數的應用．