Question

已知定義在R上奇函數f（x）在x≥0時的圖象是如圖所示的拋物線的一部分．
（1）請補全函數f（x）的圖象；
（2）寫出函數f（x）的表達式（只寫明結果，無需過程）；
（3）討論方程|f（x）|=a的解的個數（只寫明結果，無需過程）．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：函數的性質及應用

分析：（1）補全f（x）的圖象如圖1所示：
（2）當x≥0時，設f（x）=a（x-1）²-2，由f（0）=0求得a的值，可得函數的解析式；再利用函數的奇偶性求得x＜0時函數的解析式，綜合可得結論．
（3）函數y=|f（x）的圖象如圖2所示，方程|f（x）|=a的解的個數，即函數f（x）的圖象和直線y=a的交點個數，數形結合、分類討論可得結論．

解答： 解：（1）補全f（x）的圖象如圖1所示：
（2）當x≥0時，設f（x）=a（x-1）²-2，由f（0）=0得，a=2，
所以此時，f（x）=2（x-1）²-2=2x²-4x．
當x＜0時，-x＞0，所以 f（-x）=2（-x）²-4（-x）=2x²+4x …①
又f（-x）=-f（x），代入①得 f（x）=-2x²-4x．
綜上可得，f（x）=

2x2-4x，x≥0 -2x2-4x，x＜0

．
（3）方程|f（x）|=a的解的個數，即函數f（x）的圖象和直線y=a的交點個數，函數y=|f（x）的圖象如圖2所示，
由圖象可得，當a＜0時，方程無解；當a=0時，方程有三個解；
當0＜a＜2時，方程有6個解； 當a=2時，方程有4個解；當a＞2時，方程有2個解．

點評：本題主要考查根的存在性以及根的個數判斷，函數的圖象和性質的應用，利用奇函數的性質求函數的解析式，體現了數形結合、分類討論、等價轉化的數學思想，屬于基礎題．