Question

已知各項均為正數的數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足2S_n=a_n²+a_n．
（1）求證：{a_n}為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2^a_nlog 

1

2

2^a_n，數列{b_n}的前n項和為H_n，求使得H_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整數n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的前n項和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由2S_n=a_n²+a_n，得2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，從而{a_n}是公差為1的等差數列，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）b_n=2^a_nlog 

1

2

2^a_n=-n•2ⁿ，由此利用錯位相減法能求出H_n=-n•2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-2，由此能求出使得H_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整數n．

解答： 解：（1）由2S_n=a_n²+a_n．①
得2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．②
①-②，得：2a_n=an2+an-an-12-an-1，
∴an+an-1=an2-an-12，
∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是公差為1的等差數列，
由2S1=a12+a1，得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（2）b_n=2^a_nlog 

1

2

2^a_n=-n•2ⁿ，
∴H_n=-（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ），
∴2H_n=-（2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹），
∴H_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n-1
=-n•2ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹-2，
∵H_n+n•2ⁿ⁺¹＞50，
∴2ⁿ⁺¹＞52，
∴n的最小值為5．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的n的最小值的求法，是中檔題，解題時要注意錯位相減求和法的合理運用．