Question

直線y=kx-2與橢圓x²+4y²=80相交于不同的兩點P、Q，若PQ的中點橫坐標為2，則直線的斜率等于（　�。�

• A、

  1

  4

• B、

  1

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由直線y=kx-2與橢圓x²+4y²=80聯(lián)立得：（4k²+1）x²-16kx-64=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出k．

解答： 解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由直線y=kx-2與橢圓x²+4y²=80聯(lián)立得：（4k²+1）x²-16kx-64=0
因為直線y=kx-2與橢圓x²+4y²=80相交于不同的兩點P、Q，
所以△=（-16k）²-4×（4k²+1）×（-64）＞0，
即1280k²+256＞0，此式顯然成立．
把P，Q點的坐標待入橢圓方程得：x12+4y12=80，①
x22+4y22=80，②
①-②得：

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4(y1+y2)

，
所以

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

4[k(x1+x2)-4]

，
又因為PQ的中點橫坐標為2，所以x₁+x₂=4，
所以k=-

4

4(4k-4)

，即（2k-1）²=0，解得k=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．