Question

4．已知拋物線M：y²=4x，圓N：（x-1）²+y²=r²（其中r為常數，且r＞0），過點（1，0）的直線l交圓N于C、D兩點，交拋物線M于A、B兩點，若使|AC|=|BD|成立的直線有3條，則r的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （2，+∞）
• D． （$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 討論直線l與x軸垂直的情況，設直線方程為x=my+1（m≠0），分別與拋物線方程和圓的方程聯立方程組，根據|AC|=|BD|列方程，得出r關于m的表達式，從而得出r的范圍．

解答 解：①當l⊥x軸時，由對稱性可知|AC|=|BD|，符合題意；
②當l不與x軸垂直時，設直線l：x=my+1，
把x=my+1代入拋物線方程y²=4x得：y²-4my-4=0，△=16（m²+1）＞0，
把x=my+1代入圓的方程（x-1）²+y²=r²得：y²=$\frac{{r}^{2}}{{m}^{2}+1}$，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
∵|AC|=|BD|，
∴y₁-y₃=y₂-y₄，即y₁-y₂=y₃-y₄，
∴4$\sqrt{{m}^{2}+1}$=$\frac{2r}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
∴r=2（m²+1）＞2，
故選C．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查等價轉化思想與分類討論思想，求得r=2（m²+1）是關鍵，考查綜合運算能力，屬于中檔題．