Question

16．已知各項均為正數的數列{a_n}首項為2，且滿足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n（n+1）a_{n+1}^2=0$，公差不為零的等差數列{b_n}的前n項和為S_n，S₅=15，且b₁，b₃，b₉成等比數列，設${c_n}=\frac{b_n}{a_n}$
（1）求數列{a_n}的通項公式
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）推導出a_n=（n+1）a_n-1，從而a_n-1=na_n-2，a_n-2=（n-1）a_n-3，…，a₂=3a₁，上面n-1個式子相乘，能求出a_n=（n+1）!．
（2）設{b_n}的公差d，5b₁+10d=15，（b₁+2d）²=b₁（b₁+8d），解得b₁=1，d=1，b_n=n，從而c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$=$\frac{n•n!}{（n+1）!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，由此能求出數列{c_n}的前n項和．

解答 解：（1）∵各項均為正數的數列{a_n}首項為2，且滿足$a_n^2-{a_n}{a_{n-1}}-n（n+1）a_{n+1}^2=0$，
∴${{a}_{n}}^{2}={a}_{n}{a}_{n+1}-n（n+1）{{a}_{n+1}}^{2}$
=（a_n+na_n-1）（a_n-（n+1）a_n+1）=0，
∵a_n+na_n-1＞0，∴a_n=（n+1）a_n-1，
∴a_n-1=na_n-2，a_n-2=（n-1）a_n-3，…，a₂=3a₁，
上面n-1個式子相乘，得：
a_n=（n+1）!．
（2）設{b_n}的公差d，5b₁+10d=15，（b₁+2d）²=b₁（b₁+8d），
解得b₁=1，d=1，b_n=n，
c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{（n+1）!}$=$\frac{n•n!}{（n+1）!n!}$=$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，
∴數列{c_n}的前n項和：
T_n=$\frac{1}{1}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}$+…+$\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$=1-$\frac{1}{（n+1）!}$．

點評 本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，考查累乘法、裂項求和法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．