Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{sinπx}{{（{x^2}+1）（{x^2}-2x+2）}}$，x∈R．
（Ⅰ）請(qǐng)判斷方程f（x）=0在區(qū)間[-2017，2017]上的根的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）判斷f（x）的圖象是否具有對(duì)稱(chēng)軸，如果有請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸方程，若不具有對(duì)稱(chēng)性，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求證：$\sum_{i=2}^n{\frac{{f（\frac{2i-1}{2}）}}{{sin\frac{2i-1}{2}π}}}＜\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 （I）令f（x）=0，解出f（x）的零點(diǎn)即可．
（II）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性猜想f（x）的對(duì)稱(chēng)軸，再進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（III）使用裂項(xiàng)法和放縮法化簡(jiǎn)．

解答 解：（I）令f（x）=0得sinπx=0，
∴πx=kπ，即x=k，k∈Z．
∵區(qū)間[-2017，2017]上共有2017×2+1=4035個(gè)整數(shù)，
∴f（x）=0在[-2017，2017]上具有4035個(gè)根．
（II）f（x）具有對(duì)稱(chēng)性．
猜想f（x）的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)$x=\frac{1}{2}$，
∵$f（1-x）=\frac{sin（π-πx）}{{[{{（x-1）}^2}+1]（{x^2}+1）}}=f（x）$猜想成立．
∴f（x）存在對(duì)稱(chēng)軸$x=\frac{1}{2}$．
（III）$\frac{{f（\frac{2n-1}{2}）}}{{sin\frac{2n-1}{2}π}}=\frac{1}{{（\frac{{{{（2n-1）}^2}}}{4}+1）（\frac{{{{（2n-3）}^2}}}{4}+1）}}（n≥2）$=$[{\frac{1}{{\frac{{{{（2n-3）}^2}}}{4}+1}}-\frac{1}{{\frac{{{{（2n-1）}^2}}}{4}+1}}}]•\frac{1}{2n-2}$$≤\frac{1}{2}[{\frac{1}{{\frac{{{{（2n-3）}^2}}}{4}+1}}-\frac{1}{{\frac{{{{（2n-1）}^2}}}{4}+1}}}]$．
∴$\sum_{i=2}^n{\frac{{f（\frac{2i-1}{2}）}}{{sin\frac{2i-1}{2}π}}}＜\frac{1}{2}（{\frac{4}{5}-\frac{4}{13}+\frac{4}{13}-\frac{4}{29}+…+\frac{4}{{{{（2n-3）}^2}+4}}-\frac{4}{{{{（2n-1）}^2}+4}}}）$=$\frac{2}{5}-\frac{2}{{{{（2n-1）}^2}+4}}＜\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)計(jì)算，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，不等式證明，屬于中檔題．