Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并猜想a_n的表達式；
（2）證明（1）中猜想的a_n的表達式．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，4，即可計算出前4項，根據(jù)規(guī)律猜想通項公式；
（2）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1得出遞推式，得出{a_n-2}為等比數(shù)列，從而求出通項公式．

解答 解：（1）因為S_n=2n-a_n，S_n=a₁+a₂+…+a_n，n∈N^*
所以，當n=1時，有a₁=2-a₁，解得${a_1}=1=2-\frac{1}{2^0}$；
當n=2時，有a₁+a₂=2×2-a₂，解得${a_2}=\frac{3}{2}=2-\frac{1}{2^1}$；
當n=3時，有a₁+a₂+a₃=2×3-a₃，解得${a_3}=\frac{7}{4}=2-\frac{1}{2^2}$；
當n=4時，有a₁+a₂+a₃+a₄=2×4-a₄，解得${a_4}=\frac{15}{8}=2-\frac{1}{2^3}$．  
猜想${a_n}=2-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$（n∈N^*）；                                
（2）證明：由S_n=2n-a_n（n∈N^*），得S_n-1=2（n-1）-a_n-1（n≥2），
兩式相減，得a_n=2-a_n+a_n-1，即${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$（n≥2）．
兩邊減2，得${a_n}-2=\frac{1}{2}（{a_{n-1}}-2）$，
所以{a_n-2}是以-1為首項，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-2=（-1）×（$\frac{1}{2}$）^n-1=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，即a_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n∈N^*）．

點評 本題考查了歸納推理，數(shù)列的通項公式的求法，屬于中檔題．