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16.已知$\frac{π}{4}<α<\frac{π}{2}$,cosα+sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,則tanα=$4+\sqrt{15}$.

分析 把已知等式兩邊平方求得2sinαcosα的值,進一步求出sinα-cosα的值,與原等式聯立求得sinα,cosα,再由商的關系求得tanα.

解答 解:由cosα+sinα=$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$,兩邊平方得$co{s}^{2}α+si{n}^{2}α+2sinαcosα=\frac{5}{4}$,
∴$2sinαcosα=\frac{1}{4}$,
∵$\frac{π}{4}<α<\frac{π}{2}$,∴sinα>cosα,
則sinα-cosα=$\sqrt{(sinα-cosα)^{2}}=\sqrt{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α-2sinαcosα}$=$\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
聯立$\left\{\begin{array}{l}{sinα-cosα=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{sinα+cosα=\frac{\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$,解得sinα=$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}$,cosα=$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}$.
∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{4}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$4+\sqrt{15}$.
故答案為:$4+\sqrt{15}$.

點評 本題考查三角函數的化簡求值,考查同角三角函數基本關系式等應用,是基礎的計算題.

練習冊系列答案
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