Question

8．過定點P（2，1）作動圓C：x²+y²-2ay+a²-2=0的一條切線，切點為T，則線段PT長的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意，當P點到圓上動點距離最小值時，線段PT長的最小．根據點P（2，1）到圓心的距離d，構成勾股定理，轉化為二次函數的問題求解最小值即可．

解答 解：圓C：x²+y²-2ay+a²-2=0，其圓心為（0，2a），半徑r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{8}$=$\sqrt{2}$．
點P（2，1）到圓心的距離d=$\sqrt{4+（2a-1）^{2}}$．
線段PT²=d²-r²=4a²-4a+5-2=4（a²-a+$\frac{1}{4}$）+2．=4（a-$\frac{1}{2}$）²+2
當a=$\frac{1}{2}$時，可得線段PT長的最小為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查實數的取值范圍的求法，是基礎題，解題時要注意圓的性質的合理運用．