Question

9．在平面直角坐標系中，點P為曲線C上任意一點，且P到定點F（1，0）的距離比到y軸的距離多1．
（1）求曲線C的方程；
（2）點M為曲線C上一點，過點M分別作傾斜角互補的直線MA，MB與曲線C分別交于A，B兩點，過點F且與AB垂直的直線l與曲線C交于D，E兩點，若|DE|=8，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）由已知得：P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-1的距離相等，由拋物線的定義得曲線C為拋物線，即可求曲線C的軌跡方程；
（2）求出直線AB的斜率，可得直線DE的方程，利用拋物線的定義建立方程，即可得出結論．

解答 解：（1）由已知得：P到點F（1，0）的距離比到直線l：x=-1的距離相等
∴由拋物線的定義得曲線C為拋物線，$\frac{p}{2}$=1
∴軌跡方程為：y²=4x．　
（2）設M（x₀，y₀），直線MA的斜率為k，直線MB的斜率為-k，k≠0，
直線MA的方程為y-y₀=k（x-x₀），將y²=4x代入整理得到ky²-4y+4y₀-4kx₀=0，
則y_A=$\frac{4}{k}$-y₀，
又y_A-y₀=k（x_A-x₀），整理得到x_A=$\frac{4}{{k}^{2}}$-$\frac{2{y}_{0}}{k}+{x}_{0}$，
將其中的k換成-k，得到x_B=$\frac{4}{{k}^{2}}$+$\frac{2{y}_{0}}{k}+{x}_{0}$，y_B=-$\frac{4}{k}$-y₀，
那么直線AB的斜率k=-$\frac{2}{{y}_{0}}$，
∴直線DE的斜率為$\frac{{y}_{0}}{2}$，方程為y=$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-1），
代入y²=4x，可得${{y}_{0}}^{2}{x}^{2}-（2{{y}_{0}}^{2}+16）x+{{y}_{0}}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
∵|DE|=8，
∴2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$+2=8，
∴y₀=±2，x₀=1，∴M（1，±2）．

點評 本題考查拋物線的定義與方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．